Exercícios: Progressão Aritmética Parte 3

Exercícios de permutações circulares

26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?
    Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5
    Resposta: N=1×2×3×4=24
27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?
    Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5
    Resposta: N=1×2×3×4=24
    
    
    Exercícios de combinações simples
    28. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
    29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
        Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3
        Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56
        
        
    30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
        Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2
        Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000
        
        
    31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
        Conceito: Combinação
        Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4
        Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210
        
        
    32. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
        Auxílio: C=C(m₁,p₁).C(m-m₁,p-p₁), m=10, p=4, m₁=1, p₁=1
        Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84
        
        
    33. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?
        Auxílio: C=C(m₁,p₁).C(m-m₁,p-p₁), m=10, p=4, m₁=2, p₁=2
        Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28
        
        
    34. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?
        Auxílio: C=C(m₁,p₁).C(m-m₁,p-p₁), m=10, p=4, m₁=2, p₁=0
        Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70
        
        
    35. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?
        Auxílio: C=C(m₁,p₁).C(m-m₁,p-p₁), m=10, p=4, m₁=2, p₁=1
        Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112
        
        
    36. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
        Auxílio: C=C(m₁,p₁).C(m-m₁,p-p₁), m=10, p=4, m₁=3, p₁=2
        Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63
        
        
    37. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
        
        
    38. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).
        
        
    39. Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
        
        
    40. Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
        
        
    41. Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:
        1. com 4 homens e 2 mulheres?
        2. contendo H mas não M?
        3. contendo M mas não H?
        4. contendo H e M?
        5. contendo somente H ou somente M?
           
           
    42. Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:
        1. que cada algarismo aparece somente uma vez?
        2. que cada algarismo pode repetir até 3 vezes?
        3. os números pares sem repetição?
        4. os números ímpares sem repetição?
        5. os números pares com repetição?
        6. os números ímpares com repetição?
           
           
    43. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
        Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=180
        
        
    44. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?
        
        
    45. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 2 professores?
        
        
    46. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?
        
        
    47. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?
    48. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?
        Resposta: C(4,2)=6
        
        
    49. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?
        Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2
        
        
    50. Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos?
        Auxílio: C(3,2)=3 triângulos para cada ponto.
        
        
    51. Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?
        Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2
        
        
    52. Qual é o número de diagonais de um cubo?
        
        
    53. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?
        
        
    54. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?
        
        
    55. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?
        
        
    56. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contém todas as combinações tomadas 2 a 2.
        
        
    57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC.
        Resposta: N=P(5)=120.
        
        
    58. Quantas digonais possui um dodecágono?
        Resposta: N=12×9/2=54
        
        
    59. Quantas digonais possui o tetraedro regular?
        Resposta: N=0
        
        
    60. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?
        Resposta: N=0

Exercícios: Progressão Aritmética Parte 2

Olá galera, vamos continuar com os exercícios sobre Progressão Aritmética.

Exercícios de permutações com repetição

16. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?
    Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.
    Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10
    
    
17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?
    
    
18. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U?
    
    
19. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES terminando por S?
    
    
20. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U e terminando por S?
    
    
21. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?
    Auxílio: p₁=n(A)=2, p₂=n(M)=1, N=P_r(3;2+1)
    P_r(p;p₁+p₂)=(p₁+p₂)!/(p₁!p₂!)
    Resposta:N=3!/(2!1!)=3
    
    
22. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR?
    Auxílio: N=(p₁+p₂+p₃)!/(p₁!p₂!p₃!),A=2,M=1,R=1
    Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12
    
    
23. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA?
    Auxílio: N=(p₁+p₂+p₃+p₄)!/(p₁!p₂!p₃!p₄!), A=3, R=2, N=1, U=1
    Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420
    
    
24. O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos
    Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1
    Resposta: P_r(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600
    
    
25. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?
    Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez.
    Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200

Exercícios: Análise Combinatória Parte 1

A teoria necessária para resolver os exercícios apresentados está em Análise Combinatória. Alguns exercícios possuem resposta ou algum auxílio. Nem sempre os exercícios aparecem em ordem de dificuldade crescente.

Exercícios de permutações simples

1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.
   
   
2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
   Auxílio: P(n)=n!, n=3
   Resposta: N=1×2×3=6
   
   
3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
   Auxílio: P(n)=n!, n=5
   Resposta: N=1×2×3×4×5=120
   
   
4. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?
   Auxílio: P(n)=n!, n=4
   Resposta: N=1×2×3×4=24
   
   
5. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
   Auxílio:
   Resposta: P(5)=120.
   
   
6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
   Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
   Resposta: N=2×P(4)=2×24=48
   
   
7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?
   Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!
   
   
8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?
   Resposta: P(9)=9!
   
   
9. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?
   Resposta: P(8)=8!
   
   
10. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?
    Resposta: P(7)=7!
    
    
11. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por ABC?
    Resposta: P(6)=6!
    
    
12. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?
    Auxílio: Começando por uma das letras A,B,C: P(8)=8!
    Resposta: N=3×P(8)=3×8!
    
    
13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?
    Auxílio: Começando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6
    Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720
    
    
14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?
    Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes.
    Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720 (???)
    
    
15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?
    Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições para as equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2).
    Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456

Exercícios : Progressão Geometrica

Olá galera, vamos continuar com os exercícios/respostas, mas agora sobre Progressão Geométrica, qualquer duvida não deixe de comentar.

Questão 1

A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   

Resposta Questão 1

Razão da progressão: 6 : 2 = 3
a_n = a1 * q n–1
a₈ = 2 * 3 8–1
a₈ = 2 * 3 7
a₈ = 2 * 2187
a₈ = 4374

Questão 2

(Vunesp – SP – Adaptado)
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

Questão 2

(Vunesp – SP – Adaptado)
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

Resposta Questão 2

As tábuas são empilhadas de acordo com uma progressão geométrica de razão 2. Então:
a_n = a1 * q n–1
a₁₂ = 1 * 2 12–1
a₁₂ = 1 * 2 11
a₁₂ = 1 * 2048
a₁₂ = 2048
Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas. 

Questão 3

(UE – PA)
Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

Resposta Questão 3

an = a1 * q ^n–1
a₂ = 4000
a₄ = 1000
a₂ = a1 * q
4000 = a1 * q
a₁ = 4000 / q 
a₄ = a₁ * q³
1000 = 4000 / q * q³
1000 / 4000 = q³ / q
1 / 4 = q²
√1/4 = √q²
q = 1/2
a₁ = 4000 / 1/2
a₁ = 4000 * 2
a₁ = 8000
1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$    500,00
Soma total das prestações: R$ 15 500,00
Entrada (valor do carro menos o total das prestações)
R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00
 O valor da entrada foi de R$ 8 500,00

Questão 4

Sabendo que uma PG tem a₁ = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. 

Resposta Questão 4

Exercícios: Progressão artimética (PA)

Olá galera, hoje vamos postar alguns exercícios com resposta de Progressão Aritimétrica.

Questão 1: 
Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...).

Resposta Questão 1

Na progressão dada, temos que o 1º termo representado por a1 vale 2 e a razão equivale a 5.  Essa PA terá 20 termos representados pela letra n, então:
Determinando o 20º termo.
 
an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 2 + (20 – 1) * 5
a20 = 2 + 19 * 5
a20 = 2 + 95
a20 = 97

Calculando a soma dos termos.
 


O 20º termo da PA é igual a 97 e a soma dos termos equivale a 990.

Questão 2

(Fuvest – SP)
Determine quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000. 

Resposta Questão 2

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for igual a um número múltiplo de 9. Então a progressão deve começar a partir do 108, que é o primeiro número divisível por 9, e terminar no número 999. Dessa forma, temos que o primeiro termo é igual a 108, o último termo igual a 999 e a razão será 9.

a_n = a₁ + (n – 1) * r
999 = 108 + (n – 1) * 9
999 = 108 + 9n – 9
999 – 108 + 9 = 9n
9n = 900
n = 900/9
n = 100

Entre os números 100 e 1000 existem 100 múltiplos de 9.

 Questão 3

Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano. 

Resposta Questão 3

a_n = a₁ + (n – 1) * r
a₂₀ = 150 + (20 – 1) * 50
a₂₀ = 150 + 19 * 50
a₂₀ = 150 + 950
a₂₀ = 1100
 O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00.

Questão 4

Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas? 

Resposta Questão 4

A PA em questão é decrescente, pois a razão é negativa. Observe: 34 – 40 = – 6

a_n = a1 + (n – 1) * r
a₆ = 40 + (6 – 1) * (–6)
a₆ = 40 + 5 * (–6)
a₆ = 40 – 30
a₆ = 10




 O ciclista terá percorrido 150 km.

Polinômios

Ocorrência de polinômios

Perímetros de figuras planas

Cálculo de distâncias

Cálculo de áreas

• Todo monômio é considerado polinômio;
• Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
• 5x² → é um polinômio de um único termo (monômio);
• 2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.

Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

Observações:

De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:

• monômio, quando há apenas um termo;
• binômio, quando há dois termos;
• trinômio, quando há três termos;
• acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.

Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.

• 8m³n + m⁴n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
• x⁸y⁵ + x¹⁰y² → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação à y.

Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.

2x – 7                           x² + x + 3

Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um polinômio incompleto.

7x³ + 2x + 3                          x² + 3

• 7x³ + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x³ + 0x² + 2x + 3;
• x² + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x² + 0x + 3.

Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:

Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:

Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

Divisão de um polinômio por um monômio

O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y)

10x⁴y⁶ : x²y = 10x²y⁵; x³y⁴ : x²y = xy³ e x²y² : x²y = y

Ou seja,

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y) = 10x²y⁵ + xy³ + y.

Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.

Números Complexos

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i  , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i² teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i² = – 1. E que i = 

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então  = a – bi

Teoremas consequentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,  = a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos: 

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| = 

Pela representação gráfica temos que 

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =  iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que 
Onde 

Assim sua representação na forma trigonométrica é  .