Número imaginário

Em matemática, um número imaginário é um número complexo cuja parte real é igual a zero, por exemplo, é um número imaginário e ou são também números imaginários. Em outras palavras, um certo número de sob a forma:

Um número imaginária pode ser descrita como o produto de um número real pela unidade imaginária i , onde a letra i indica a raiz quadrada de -1  :

Foi em 1777 , quando Leonhard Euler deu o nome de i , por forma depreciativa imaginário o que implica que não tinha existência real. Gottfried Leibniz no século XVII , disse que ele era uma espécie de anfíbio entre ser e nada.

Em engenharia eletrônica e áreas afins, a unidade imaginária é muitas vezes escrito como j para evitar confusão com a intensidade de corrente elétrica , tradicionalmente denotado por i

Distribuição Binomial

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, ¹/₆ é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.

Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.

Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são independentes.

Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.

Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:

Lê-se  como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.

Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.

Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.

Sendo n ≥ k, o número binomial  é dado por:

Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.

Exemplo

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

O espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos tal evento por:

E = { 3 }

Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de um 3 em um lançamento é:

p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portantoq = ⁵/₆.

n é o número total lançamentos, então n = 7.

k é o número de sucessos, logo k = 4.

Antes de utilizarmos a fórmula , vamos calcular o número binomial :

Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar na fórmula. Vejamos:

A probabilidade ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆ também pode ser representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.

Portanto:

A probabilidade é ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.

logaritmo

Conceitos relacionados ao logaritmo

No vestibular podem aparecer expressões que talvez sirvam para confundir estudantes menos avisados. Colog e antilog são noções bastante simples, mas, podem causar confusão. 

Antilogaritmo
Se a definição de logaritmo é:


A definição de antilog é:


Bastante simples. Veja um exemplo:


Pela definição:


Veja agora como um exercício pode ser simplificado com esta informação:


Como 





Então:

Cologaritmo

Pela definição:


A definição de colog é:


As definições e propriedades do logaritmo ainda permitem deduzir que:


Exemplo:


Usando-se a propriedade:



Como:


Tem-se:


Portanto:

Geometria Espacial-Esfera

Geometria Espacial-Esfera

Zona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Estatística –Explicação passo a passo

Método Estatístico:

1ª Etapa: Coleta de Dados.

Alexandre e seus amigos  resolveram fazer uma pesquisa para saber quais gêneros de livros os alunos mais emprestavam da biblioteca. Para isso, consultaram os registros da biblioteca no mês de maio e anotaram os resultados.

2ª Etapa: Tabulação de Dados.

Depois de levantar os dados, construíram uma tabela com o número de vezes que cada gênero ocorreu nos resultados coletados por eles. Com a tabela de frequências, os dados ficam mais organizados de forma resumida.

A Frequência ou Frequência Absoluta é o número de vezes que uma informação se repete.

3ª Etapa: Construção de Gráfico.

Para construir o gráfico, Alexandre e seus amigos utilizaram uma folha de papel quadriculado. Observe:

4ª Etapa: Divulgação dos Resultados

Progressão Geométrica

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

     

     Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      

     A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

     Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

     Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

  

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.