.: outubro 2013

terça-feira, 29 de outubro de 2013

Polinômios

Ocorrência de polinômios

Perímetros de figuras planas

Cálculo de distâncias

Cálculo de áreas

Todo monômio é considerado polinômio;
Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
5x² → é um polinômio de um único termo (monômio);
2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.

Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

Observações:

De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:

monômio, quando há apenas um termo;
binômio, quando há dois termos;
trinômio, quando há três termos;
acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.

Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.

8m³n + m⁴n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
x⁸y⁵ + x¹⁰y² → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação à y.

Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.

2x – 7 x² + x + 3

Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um polinômio incompleto.

7x³ + 2x + 3 x²+ 3

7x³ + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x³ + 0x² + 2x + 3;
x²+ 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x²+ 0x + 3.

Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:

Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:

Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

Divisão de um polinômio por um monômio

O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y)

10x⁴y⁶: x²y = 10x²y⁵; x³y⁴ : x²y = xy³ e x²y²: x²y = y

Ou seja,

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y) = 10x²y⁵ + xy³ + y.

Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.

Números Complexos

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1),
onde se realizarmos i² teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i² = – 1. E que i =

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. (

)
Se z = a + bi então

= a – bi

Teoremas consequentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,

= a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos:

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| =

Pela representação gráfica temos que

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =

iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que

Onde

Assim sua representação na forma trigonométrica é

Número imaginário

Em matemática, um número imaginário é um número complexo cuja parte real é igual a zero, por exemplo, $5i \$ é um número imaginário e $i \$ ou $-I \$ são também números imaginários. Em outras palavras, um certo número de sob a forma:

$z = x + y \ i \: \ quad x = 0$

Um número imaginária pode ser descrita como o produto de um número real pela unidade imaginária i , onde a letra i indica a raiz quadrada de -1 :

$i = \ sqrt {-1}$

Foi em 1777 , quando Leonhard Euler deu $\ {Sqrt -1}$ o nome de i , por forma depreciativa imaginário o que implica que não tinha existência real. Gottfried Leibniz no século XVII , disse que ele $\ {Sqrt -1}$ era uma espécie de anfíbio entre ser e nada.

Em engenharia eletrônica e áreas afins, a unidade imaginária é muitas vezes escrito como j para evitar confusão com a intensidade de corrente elétrica , tradicionalmente denotado por i

Distribuição Binomial

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, ¹/₆ é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.

Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.

Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são independentes.

Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.

Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:

Lê-se

como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.

Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.

Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.

Sendo n ≥ k, o número binomial

é dado por:

Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.

Exemplo

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

O espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos tal evento por:

E = { 3 }

Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de um 3 em um lançamento é:

p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portantoq = ⁵/₆.

n é o número total lançamentos, então n = 7.

k é o número de sucessos, logo k = 4.

Antes de utilizarmos a fórmula

, vamos calcular o número binomial

Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar na fórmula. Vejamos:

A probabilidade ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆ também pode ser representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.

Portanto:

A probabilidade é ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.

logaritmo

Conceitos relacionados ao logaritmo

No vestibular podem aparecer expressões que talvez sirvam para confundir estudantes menos avisados. Colog e antilog são noções bastante simples, mas, podem causar confusão.

Antilogaritmo
Se a definição de logaritmo é: