Geometria Espacial-Esfera

Geometria Espacial-Esfera

Zona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Estatística –Explicação passo a passo

Método Estatístico:

1ª Etapa: Coleta de Dados.

Alexandre e seus amigos  resolveram fazer uma pesquisa para saber quais gêneros de livros os alunos mais emprestavam da biblioteca. Para isso, consultaram os registros da biblioteca no mês de maio e anotaram os resultados.

2ª Etapa: Tabulação de Dados.

Depois de levantar os dados, construíram uma tabela com o número de vezes que cada gênero ocorreu nos resultados coletados por eles. Com a tabela de frequências, os dados ficam mais organizados de forma resumida.

A Frequência ou Frequência Absoluta é o número de vezes que uma informação se repete.

3ª Etapa: Construção de Gráfico.

Para construir o gráfico, Alexandre e seus amigos utilizaram uma folha de papel quadriculado. Observe:

4ª Etapa: Divulgação dos Resultados

Progressão Geométrica

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

     

     Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      

     A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

     Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

     Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

  

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta  x = 50.

Progressão Aritimética

    Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.  

A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente.

Termo Geral de uma P.A 

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que: 

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r 
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁ + 2r 
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁ + 3r 
… 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: 

a n = a₁ + (n – 1) . r 

Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3. 

an = a₁ + (n – 1) . r 
a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3 
a₁₆ = -10 + 15 . 3 
a₁₆ = -10 + 45 
a₁₆ = 35 

O 16º termo de uma P.A é 35. 

Soma dos termos de uma P.A finita 

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. 

Sn = (a1 + an) . n 
                    2 
Exemplo 2: 

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que 
a ₈ = 79. 

Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a ₈ = 79 

Sn = (a1 + an) . n                 2 

324 = (a1 + 79) . 8 
                     2 

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 
648 = 8 a1 + 632 
16 = 8 a1 
a1 = 2 

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos. 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = r
 7
r = 11

Cantadas de Matemática

    E pra você que dizia que nunca ia usar a Matemática no dia a dia, que tal usá-la para conquistar alguém? Veja aí algumas cantadas matemáticas!

♥ Rezei 1/3 para encontrar 1/2 de te levar para 1/4 e fazer do seu pai 1/9. Aceita 1/6 de flores?

♥ Gata, um dia eu serei seu sen² e você será minha cos², pois juntos seremos 1 só!

♥ Quando você tende a mim, a função amor não tem limite!

♥ Meu amor por você é exponencial, portanto nada que derive dele será nulo.

♥ Você sabe o que é um vértice? Não? Vamos ali no cantinho que eu te mostro.

    A Matemática pode ser bem útil se você souber usá-la. 

Se é que me entendem...

Função de 1º grau ou Funçao Afim

Função de 1º grau ou Funçao Afim

Definição

 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
   
 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y 0 -1 0

    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau

  

 Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.

   Temos:

   f(x) = 0        ax + b = 0       

   Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                       f(x) = 0        2x - 5 = 0       
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                       g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
      
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
   O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
       h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5

 

Crescimento e decrescimento

  

 Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8       Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes     valores de y também aumentam. Dizemos, então que a     função y = 3x - 1 é crescente.    Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:

• para a > 0: se x₁ < x₂, então ax₁ < ax₂. Daí, ax₁ + b < ax₂ + b, de onde vem f(x₁) < f(x₂).
• para a < 0: se x₁ < x₂, então ax₁ > ax₂. Daí, ax₁ + b > ax₂ + b, de onde vem f(x₁) > f(x₂).

Sinal
  
 Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x >

         y < 0      ax + b < 0         x <

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)
          y > 0  ax + b > 0            x <
         y < 0  ax + b < 0        x >

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.