Progressão Aritimética

    Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.  

A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente.

Termo Geral de uma P.A 

Considere uma P.A finita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n) de razão igual a r, sabemos que: 

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r 
a₃ – a₂ = r → a₃ – a₁ – r = r → a₃ = a₁ + 2r 
a₄ – a₃ = r → a₄ – a₁ – 2r = r → a₄ = a₁ + 3r 
… 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: 

a n = a₁ + (n – 1) . r 

Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a₁ = -10 e r = 3. 

an = a₁ + (n – 1) . r 
a₁₆ = -10 + (16 – 1) . 3 
a₁₆ = -10 + 15 . 3 
a₁₆ = -10 + 45 
a₁₆ = 35 

O 16º termo de uma P.A é 35. 

Soma dos termos de uma P.A finita 

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. 

Sn = (a1 + an) . n 
                    2 
Exemplo 2: 

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que 
a ₈ = 79. 

Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a ₈ = 79 

Sn = (a1 + an) . n                 2 

324 = (a1 + 79) . 8 
                     2 

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 
648 = 8 a1 + 632 
16 = 8 a1 
a1 = 2 

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos. 

a n = a₁ + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = r
 7
r = 11